e Funktion einfach erklärt • Alles, was du zu e^x wissen musst! (2024)

Du willst wissen, wie du mit der e Funktion rechnest und welche Eigenschaften sie hat? Alles von den Nullstellen der e Funktion bis zu ihrer Ableitung erklären wir dir hier und natürlich in unserem Video!

e Funktion einfach erklärt

Die e Funktion ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e ≈ 2,718. Ihre Gleichung ist:

f(x) = e^x

Aufgepasst! Lass dich von dem e nicht verwirren. Das e ist eine ganz normale Zahl, so ähnlich wie π. Du nennst sie Eulersche Zahl.

Wie rechnest du mit der e Funktion?

Oft musst du mit der e-Funktion rechnen, zum Beispiel wenn du Nullstellen oder Hoch- und Tiefpunkte herausfinden musst oder eine Gleichung lösen willst. Dafür solltest du dir zwei wichtige Gesetze der e Funktion und der ln Funktion merken:

Das e und der ln löschen sich also gegenseitig. Schau dir ein Beispiel dazuan:

Wenn du e Funktionen addierenoder zusammenfassen willst, brauchstdu manchmal auch e Funktion Rechenregeln:

Schau dir auch ein Beispiel zu den e Rechenregeln an: Vereinfache (e^x)² • e^x

Zusätzlich zu den e Funktion Rechenregeln solltest du dir folgende Exponentialfunktion Regeln für e hoch 0 und e hoch 1 merken:

• e hoch 0: e⁰ = 1
• e hoch 1: e¹ = e
• e hoch minus x: e^-x = 1/e^x

Achtung! Beim e Funktionen addieren musst du aufpassen. Wenn zwei e Funktionen unterschiedliche Hochzahlen haben, z.B. e^-xund e^2x, kannst du die e Funktionen nicht addieren:

E Funktionen ableiten

Die Ableitung von e hoch x ist wieder e^xselbst:

Wenn in der Hochzahl (Exponent) mehr als ein x steht, dann verwendest du zum Ableiten die Kettenregel:

Den Teil e^Hochzahllässt du stehen. Dahinter schreibst du „mal die Ableitung der Hochzahl.“

Wenn die e Funktionen komplizierter sind, zum Beispiel f(x) = x² • e^3x oder , brauchst du die Produktregel oder die Quotientenregel:

Im letzten Schritt hast du e^3x ausgeklammert. Das hilft dir später beim Weiterrechnen.

Dir ging alles etwas zu schnell? Dann schau dir doch unser ausführliches Video zur Ableitung der natürliche Exponentialfunktion an!

Stammfunktion e^x / Integral

Die Stammfunktion bzw. das Integral der von e hoch x ist wieder die e-Funktion selbst:

Du möchtest noch eine ausführlichere Erklärung? Dann schau dir unser Video zum Integrieren von e^x an.

Eigenschaften der e Funktion

Bei einer Kurvendiskussion brauchst du einige Eigenschaften der e Funktion. Dazu zählen:

• Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Nullstellen e Funktion)
• Grenzverhalten
• Symmetrie
• Definitionsmenge und Wertemenge
• Monotonie
• Umkehrfunktion

Die erklären wir dir jetzt genauer!

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Nullstellen e Funktion)

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei der normalen e-Funktion f(x) = e^x bei (0|1).Die normale e-Funktion f(x) = e^x hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Sie hat also keine Nullstellen.

Bei anderen Funktionen (z.B. f(x) = 3e^2x-1) musst du die Schnittpunkte berechnen:

• Schnittpunkt mit der y-Achse: Setze für x die 0 ein und rechne das aus.

⇒ Schnittpunkt bei (0|2)

• Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): Setze die natürliche Exponentialfunktion gleich 0 und löse nach x auf.

  

Wie du diese Gleichung auflöst, erklären wir dir im Abschnitt „Wie rechnest du mit der e Funktion?“ weiter oben in diesem Beitrag. Die Nullstelle liegt also bei (| 0).

Grenzverhalten

Beim Grenzverhalten schaust du dir an, was mit der Funktion für sehr große () oder sehr kleine () x-Werte passiert.

Die waagrechte Asymptote der exp Funktionist also die x-Achse.

Wenn deine e-Funktion in einem Produkt steht (z.B. f(x) = — x² • e^x), gilt folgende Regel:

• Wenn beide Faktoren gegen gehen, dann gelten die Vorzeichenregeln: • = und • = :

Beispiel: Für gilt:

• Wenn ein Faktor des Produkts gegen 0 geht und der andere gegen oder , dann gewinnt immer die e-Funktion:

Beispiel: Für gilt:

Symmetrie der e-Funktion

Die normale natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x ist nicht punktsymmetrisch und nicht achsensymmetrisch. Schau dir aber mal den e Funktion Graph von an:

Du siehst, dass diese natürliche Exponentialfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Um das mathematisch auszurechnen, musst du f(-x) berechnen und vereinfachen:

Du siehst, dass (-x)² = x² ist, weil sich das Minus bei hoch 2 auflöst. Deshalb ist f(-x) das Gleiche ist wie f(x) selbst. Darum nennst du diese e Funktion achsensymmetrisch. Es gilt nämlich:

Definitionsmenge und Wertemenge

Die Definitionsmenge sind die Zahlen, die du in eine Funktion einsetzen darfst. Alle Zahlen, die als y-Werte rauskommen können, nennst du Wertemenge.

Monotonie

Die normale exp Funktion f(x) = e^x ist streng monoton wachsend. Das heißt, sie steigt die ganze Zeit an.

Bei anderen Funktionen bestimmst du das Monotonieverhalten mithilfe der Ableitung. Wie das geht, zeigen wir dir hier!

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion f^-1(x) = ln(x). Den ln nennst du auch natürlichen Logarithmus.

Den Logarithmus erhältst du aus der exp Funktion, wenn du e hoch x an der grünen Geraden spiegelst.

Wenn du dein Wissen zur E-Funktion noch zusätzlich vertiefen oder mehr Details erfahren willst, dann sieh dir gerne auch unseren fortgeschrittenen Beitragdazu an!

ln Funktion

Willst du die Umkehrfunktion der e Funktion genauer kennenlernen? Dann schau dir direkt unser Video zur ln Funktion an. Bis gleich!

Beliebte Inhalte aus dem BereichFunktionen

• e FunktionDauer:04:03
• Eulersche ZahlDauer:03:50
• LogarithmusDauer:04:22